Lógica para computação - parte II

Continuando o artigo anterior, (se você não o viu, poderá vê-lo em: http://vivaolinux.com.br/artigo/Introducao-a-Logica-para-computacao/ ),
estaremos adentrando em outras propriedades da Lógica direcionada à computação.

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Por: Ariel Galante Dalla Costa em 27/12/2011 | Blog: http://arielgdc.wordpress.com


Equivalência lógica e Negações Lógicas



Equivalência lógica

A equivalência já diz no nome, é o valor lógico igual às linhas das proposições compostas que têm na sua resolução o valor lógico verdadeiro, formando assim uma tautologia na última coluna de resolução.

Como por exemplo:

p^q->r <=> p->(q->r), resolvendo:

p, q, r p^q p^q->r q->r p->(q->r) p^q->r<=>p->(q->r)
V  V  V  V    V      V    V              V
V  V  F  V    F      F    F              V
V  F  V  F    V      V    V              V
V  F  F  F    V      V    V              V
F  V  V  F    V      V    V              V
F  V  F  F    V      V    V              V
F  F  V  F    V      V    V              V
F  F  F  F    V      V    V              V

Neste exemplo, é uma equivalência lógica, pois, o valor formado é uma tautologia.

Outro exemplo: p->q<=>p

p, q p->q p->q<=>p
V  V  V       V
V  F  F       F
F  V  V       F
F  F  V       F

Neste exemplo, não é uma equivalência lógica, pois, fora formada uma contingência, e só é uma equivalência lógica, se for formada uma tautologia.

Proposições associadas a uma condicional:

I- Recíproca: É a troca de proposições simples através de um operador lógico.

Exemplo:

- p: Ariel é programador;
- q: Ariel ganha pouco;
- p^q <=> Ariel é programador e ganha pouco;

Recíproca: Ariel ganha pouco e é programador.

II- Contrapositiva: É a troca de proposições simples através de um operador lógico, também inverte os valores lógicos presentes nas proposições simples aplicadas.

- p: Ariel é programador
- q: Ariel ganha pouco
- p^q <=> Ariel é programador e ganha pouco

Recíproca: Ariel não é programador e não ganha pouco.

Negações Lógicas

Negação Conjunta: é a negação de duas proposições simples, ou seja, "p^q' na negação conjunta é '~p^~q". Lê-se "não p e não q". Simbolicamente é representado por "p↓q" (caso não consiga visualizar, é uma seta para baixo). É parecida com a contrapositiva, porém não é sinônimo.

Exemplo:

      (p↓q)↓(q->p)

Resolução do exemplo fica:

p, q (p↓q) ↓ (q->p)
V  V   V   F
V  F   V   F
F  V   F   V
F  F   V   F

~(~p^~q)v~(q->p) é a equivalente.

Outro exemplo: p: Ariel usa Linux, q: Ariel usa wordpress

p↑q <=> Ariel não usa Linux e não usa wordpress.

Talvez surja a dúvida: Por que conjunta?

- Porque uma negação, quando conjunta E (^) influencia diretamente sobre a outra proposição, pois, a soma delas é o valor lógico obtido.

Negação disjunta: é a negação de duas proposições simples, ou seja, "~pv~q". Lê-se "não p ou não q" e simbolicamente é representado por "p↑q" (caso não consiga visualizar, é uma seta para cima).

Exemplo:

      p↑q↑(p↓q)

   Resolução do exemplo fica:

p, q p↑q p↓q p↑q↑(p↓q)
V  V  F   F     V
V  F  V   F     V
F  V  V   F     V
F  F  V   V     F

~~(p^~q)v~(~pv~q) é a equivalente.

Outro exemplo..: p: Ariel usa Linux, q: Ariel usa wordpress

p↑q <=> Ariel não usa Linux ou não usa wordpress.

Talvez surja a dúvida: Por que disjunta?

- Porque uma negação, quando disjunta OU (v) influencia em somente uma proposição, ou seja, não quer dizer que o resultado será obtido através das duas, mas pode ser através de uma proposição somente por uma delas ser verdadeira.
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Páginas do artigo
   1. Definições base
   2. Equivalência lógica e Negações Lógicas
   3. Álgebra das proposições, regra de Morgam e método dedutivo
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Comentários
[1] Comentário enviado por arieldll em 27/12/2011 - 22:14h

Quem possuir sugestoes ou encontrar algo de errado, fico feliz em compartilhar conosco.
[]'s Ariel

[2] Comentário enviado por marquinhos1875 em 27/12/2011 - 23:29h

PQP, meu carma no semestre, abre o VOL e mais carma...... (rs)
Mais ta muito bom, parabéns.

[3] Comentário enviado por arieldll em 28/12/2011 - 07:43h

Obrigado

[4] Comentário enviado por nicolo em 28/12/2011 - 12:16h

Cruzes, que horror !
Ainda bem que eu já passei desta fase macabra.

Se eu precisasse aprender isso para comer, já teria morrido de fome.


[5] Comentário enviado por neonx em 28/12/2011 - 17:08h

Olha só... é sempre bom ver alunos com grandes potenciais... Ariel está de parabéns... muito bem escrito e desenvolvido este seu artigo...

abraço...

Ânderson

[6] Comentário enviado por arieldll em 28/12/2011 - 18:00h

Obrigado e fico feliz por ter gostado.
Abraço
Ariel

[7] Comentário enviado por lcavalheiro em 29/12/2011 - 14:02h

Ariel, eu tenho uma sugestão com relação às regras de cálculo proposicional de primeira ordem. O método de sistema dedutivo que você apresentou é funcional, mas exigem muita decoreba e nem sempre são de aplicação simples e imediata. Nos estudos contemporâneos de Lógica Matemática esse método está sendo abandonado em prol das regras de inclusão e eliminação de operadores(literalmente, operações com operadores lógicos). Existe um livro muito bom sobre o assunto (infelizmente eu não sei se ele já foi traduzido pro nosso idioma) chamado "Logic and Structure", de Dirk van Dalen. Assim que a carga no meu computador reduzir um pouco (no momento estou compilando o Virtual Box pra testar a distro educacional Pandorga, que nosso governo criou baseada em (argh!) Debian) eu te passo as regras, ok?

[8] Comentário enviado por arieldll em 29/12/2011 - 14:28h

lcavalheiro, eu agradeço e fico feliz por compartilhar. O conhecimento é o nosso objetivo.
Fico grato desde já.

[]'s Ariel

[9] Comentário enviado por lestatwa em 30/12/2011 - 19:44h

no seu exemplo 1:
p, q (p^~q)
V V F
V F F
F V F
F F F

temos um erro
o correto seria
p , q, ~q, (p^~q)
V V F F
V F V V
F V F F
F F V F

Lógica Matemática apesar de simples, exige atenção!
Abraço!

[10] Comentário enviado por arieldll em 30/12/2011 - 21:11h

Obrigado pela sinalização! Sem problemas, podemos corrigir facilmente a expressão.
Para a proposição ser contraválida basta substituir a epxressão por: (p^~q)^q. Onde que o q força uma negação na linha, bem como toda a tabela.
Se possível moderação, favor corrigir.

[]'s Ariel.

[11] Comentário enviado por lcavalheiro em 31/12/2011 - 11:32h

Ariel, no exemplo 1 em questão o lestatwa está falando de proposições contingentes. A contradição total, se for o caso, pode ser obtida mais facilmente com (p ^ ~p). Duas variáveis com um único operador binário formam, necessariamente, uma expressão contingente, sendo necessário recorrer a um segundo operador binário (aumentando a profundidade da árvore dedutiva da proposição e, em TI, a complexidade computacional do processo) como o amigo Ariel sugeriu. Note que semanticamente falando essa proposição da correção do amigo pode ser escrita como (p ^ q) ^ ~q, ainda que indutivamente você possa dizer que a implicação dessas duas proposições seja o p, mas isso é assunto pra outro lugar...

[12] Comentário enviado por arieldll em 31/12/2011 - 12:03h

lcalheiro, a ideia é deixar a tabela como contraválida, para, um simples exemplo.
Aproveitando o post, a ideia era ter um exemplo de cada situação com uma proposição composta de mais de uma proposição simples apenas(p), como pode-se observar os outros exemplos, que também são desta forma. A forma mais fácil realmente seria ~p^p.


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