Lógica para computação - parte IV

Continuando os artigos anteriores, agora estaremos aplicando sentenças abertas em nossas Lógicas Computacionais.

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Por: Ariel Galante Dalla Costa em 17/01/2012 | Blog: http://arielgdc.wordpress.com


Sentenças abertas e conjunto verdade



Se você não viu os artigos anteriores, veja-os em: Introdução a Lógica para computação, Lógica para Computação - Parte II e Parte III.

Sentenças Abertas

Definição:

- É denominada sentença aberta com uma variável para o conjunto A ou apenas uma sentença em A, uma expressão 'p(x) => p(a)' é falsa(0 ou F) ou verdadeira para todo 'aЄA' (lê-se: 'a' pertence a 'A').

Podemos definir com outros termos que 'p(x)' é uma sentença aberta em A se e somente se 'p(x)' será uma proposição F ou V todas as vezes que a substituição da variável 'x' por qualquer elemento a do conjunto A (aЄA).

Ao fato, o conjunto A recebe o nome de conjunto universo ou domínio da variável x e qualquer ementa 'aЄA' diz-se um valor da variável 'x'.

Por exemplo:

- Dado 'x' em sentenças abertas dos números naturais*(N* - inteiros positivos maiores e diferentes de zero), verificar as expressões:

1 - x+1>8                     x >=8
2 - x²-5x+6 = 0            x={2,3}
3 - x+5 = 9                   x=4
4 - x é divisor de 10   x={1,2,5,10}
5 - x é primo               x={2,3,5,7,11,13...}
6 - x é múltiplo de 3  x={3,6,9,12,15,18...}

Conjunto Verdade

Definição:

- Chama-se conjunto verdade de uma sentença aberta 'p(x)' em um conjunto A, o conjunto de todos os elementos 'aЄA' tais que o valor lógico é uma proposição verdadeira 'p(x)'.

O conjunto também é conhecido com 'Vp', ou seja, para uma designação simbólica irá ser: Vp={x/x Є A ^ p(x) é V}.

Considerando os exemplos anteriores (sentenças abertas), forma-se o conjunto verdade respectivamente como:

1 - x+1>8            Vp={x/x Є N* ^ x+1>8}={8,9,10...}
2 - x²-5x+6 = 0        Vp={x/x Є N* ^ x²-5x+6}={2,3}
3 - x+5 = 9            Vp={x/x Є N* ^ x+5+6=9}={4}
4 - x é divisor de 10  Vp={x/x Є N* ^ x/10}={1,2,5,10} Em programação poderíamos representar 10%x=0(MOD)
5 - x é primo          Vp={x/x Є N* ^ x é primo}={2,3,5,6,11,13...}
6 - x é múltiplo de 3  Vp={x/x Є N* ^ x/3}={3,6,9,12...} Em programação poderíamos representar x%3=0(MOD)

Nota: Nos exemplos anteriores, foram mostrados que 'p(x)' é uma sentença aberta em conjunto A, e três casos podem ocasionar, são eles:

1 - p(x) é verdadeiro(V) para todo xЄA, isto é, conjunto verdade Vp coincide com o conjunto A(Conjunto Universo) da variável x(Vp=A)
2 - p(x) é verdadeira para alguns xЄA, isto é, o conjunto verdade Vp é um subconjunto próprio do universo A da variável x(Vp(A))
3 - p(x) não é verdade(F) para nenhum xЄA, ou seja, Vp{Ø}(lê-se vazio)

Exemplos:

- Seja o conjunto A={2,3,4,5,6}, construa a tabela verdade e 'vp' das sentenças:

1) 2x-4 = 8. Para resolver este exemplo, deve-se adicionar uma linha por valor do conjunto finito ou infinito denominado.

2x-4 = 8
x=2   F
x=3   F
x=4   F
x=5   F
x=6   V

Este exemplo se encaixa no segundo caso expresso na nota, portanto, Vp{6}

2) 2x+1>=0

2x+1=0
x=2  V
x=3  V
x=4  V
x=5  V
x=6  V

Este exemplo se encaixa no primeiro caso expresso na nota, portanto, Vp={2,3,4,5,6} coincide com o conjunto universo.

3) 2x+5>3

2x+5<3
x=2  F
x=3  F
x=4  F
x=5  F
x=6  F

Este exemplo se encaixa no terceiro caso expresso na nota, portanto, Vp={Ø}.
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Páginas do artigo
   1. Sentenças abertas e conjunto verdade
   2. Mais sobre sentenças abertas e conjunto verdade
   3. Operações lógicas sobre sentenças abertas
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Comentários
[1] Comentário enviado por arieldll em 17/01/2012 - 22:55h

Caso alguém encontre algum erro, ou tenha alguma dúvida, fico feliz em compartilhar conosco.
[]'s Ariel


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