Sentenças abertas com mais de uma variável

Definição:

- Dados dois conjuntos, A e B, chama-se sentença aberta de duas variáveis, também conhecido como 'AxB' uma expressão 'p(x,y)' tal que 'p(a,b)' é falsa ou verdadeira para todo par ordenado '(a,b) Є AxB'.

Em outros termos, 'p(x,y)' é uma sentença aberta em AxB e somente se 'p(x,y)' torna-se uma proposição V ou F todas as vezes que as variáveis X e Y são substituídas respectivamente pelos elementos 'a' e 'b' de qualquer par ordenado (a,b) pertencente ao produto cartesiano 'AxB' dos conjuntos A e B.

Exemplos: A{2,3,4} e B{1,3,5}

a - AxB = (2,1),(2,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5)
b - BxA = (1,2),(1,3),(1,4),(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)

Conjunto verdade de uma sentença aberta com duas variáveis

Definição:

- Chama-se conjunto verdade de uma sentença aberta 'p(x,y)' em AxB, o conjunto de todos os elementos '(a,b) Є AxB' tais que 'p(a,b)' é uma proposição verdadeira. Logo, conclui-se:

Vp={(x,y)/x Є A ^ y Є B ^ p(x,y)}

Exemplos:

- Através dos conjuntos dados 'A{1,2,3,4}' e 'B{1,3,4}', encontrar o conjunto verdade a partir das proposições seguintes:

1- x>y       Vp={(2,1),(3,1),(4,1),(4,3)}
2- x+y = 4 ^ x-y = 3.

Este exemplo pode ser analisado como um sistema. Pode-se desenvolver um sistema observando a ordem atual, ou seja, pode-se descobrir quais são os valores para 'x' e 'y' e depois procurar o par ordenado que satisfaça a operação lógica. Neste caso, também pode-se gerar todos os pares disponíveis que satisfaçam a proposição, como por exemplo: (1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(3,3)... Estes pares ordenados serão substituídos para variáveis na ordem (x,y).

Este sistema, neste caso, não possui uma solução válida para satisfazer as duas variáveis através dos conjuntos informados, ou seja: Vp={Ø}.

Agora pode-se notar mais facilmente porque é importante o estudo das premissas e proposições antes disso.

Mais um exemplo para reforçar:

Dado:  A{10,20} B{4,6}, demonstrar o conjunto verdade da proposições:

x+x-y = 0. Iniciando os passos demonstrados, pode-se concluir que Vp{Ø}.
2x+y>3   . Iniciando os passos demonstrados, pode-se concluir que Vp{AxB} ou Vp{BxA}.