Vamos esclarecer os operadores.
O operador E(^) concatena valores lógicos na proposição que o mesmo estiver presente, ou seja, necessita ser uma proposição composta, como por exemplo:
- p: O caminhão está passando (valor lógico V)
- q: O caminhão é vermelho (valor lógico V)
- p ^ q: "O caminhão que está passando é vermelho E(^) amarelo.", então, o valor lógico da expressão p ^ q é V.
O operador OU(v) condiciona verdadeiro caso uma das proposições forem verdadeiras, como por exemplo:
- p: O cadarço está amarrado (valor lógico F)
- q: O tênis é azul (valor lógivo V)
- p v q: "O cadarço está amarrado e o tênis é azul", então o valor lógico da expressão p v q é V.
Operador SE ENTÃO(->) valida uma proposição caso a última proposição seja verdadeira ou a primeira seja falsa. Exemplo:
- p: Bonifastos está dormindo(valor lógico F)
- q: Amanhecendo(Valor lógico V)
- p -> q: "Se Bonifastos não está dormindo, então está amanhecendo". o valor lógico da expressão p -> q é V.
O operador SE E SOMENTE SE(<->) valida uma proposição composta como verdadeira quando ambos os valores lógicos das proposições simples são iguais, como V <-> e F <-> F. Então, dizer que (V <-> V) <-> (F <-> F), é verdadeiro, pois V <-> V.
- p: João assiste TV (Valor lógico V)
- q: João escuta rádio (Valor lógico V)
- p <-> q: "Se e somente se João assistir TV, João escuta rádio", ou seja, neste caso, p <-> q é V.
E (representado por ^), OU (representado por v), SE ENTÃO (representado por ->), SE E SOMENTE SE (representado por <->), juntamente com o NÃO (representado por ~).
Para a resolução de proposições compostas, necessitamos que os operadores possuam uma ordem de resolução. Esta ordem é chamada de ordem de precedência.
A ordem se define como:
1º - NÃO(~)
2º - ^, v
3º - ->, <->
Os operadores E(^) e OU(v) possuem a mesma ordem de precedência, bem como os operadores SE E SOMENTE SE(<->) e SE ENTÃO(->).
Caso os operadores tenham a mesma ordem de precedência, iremos primeiramente resolver os que vieram antes no sentido da esquerda para direita.
Um exemplo:
p, q p -> q v p
V V V V
V F V V
F V V V
F F V F
O resultado desta proposição composta é:
V
V
V
V
A ordem de resolução foi:
1º - q v p
2º - p -> q v p
Resolução e conclusão
Como podemos observar, a cada operador lógico que se resolve, a proposição composta passa a influenciar sobre o resultado da primeira resolução.
Também é possível adicionar parênteses, que são resolvidos primeiro, ou seja, na ordem geral de precedência ficaria:
1º - Parênteses mais internos
2º - NÃO(~)
3º - E(^), OU(v)
4º - SE ENTÃO(->), SE E SOMENTE SE(<->)
O mesmo exemplo só que com parênteses:
p, q p -> (q v p)
V V V V
V F V V
F V V V
F F V F
Ordem de resolução:
1º - O que tinha nos parênteses, ou melhor, parênteses mais internos.
2º - a resolução de p -> o resultado dos parênteses.
Algumas outras formas:
- Quando a coluna gerada pela resolução da última proposição gera todas as linhas verdadeiras, a resolução pode ser chamada de Tautológica, ou de tautologia lógica.
Ficou muito mais fácil, não acha?
Referências
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