Quebrando a criptografia RSA

Este artigo visa descrever as etapas e os códigos fontes que permitiram vencer o desafio RSA, promovido aqui no VOL, como parte do artigo "Criptografia Assimétrica com o RSA", de Elgio Schlemer.

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Por: André Vitor Matos em 25/08/2009 | Blog: http://www.google.com/profiles/andre.vmatos


Conclusão



É, não é tão fácil quando não se tem esses códigos, apenas o conceito. Quinta-feira, 13/08/2009, à tarde, eu e mais alguns participantes, com um pouco de atraso, vimos o tópico do desafio do Prof. Elgio. Aqui começa a aventura. No começo, era fácil. Chaves propositalmente fracas, faziam ficar fácil. A chave 2 quebrou em menos de 20 minutos (usando a primeira versão do código e apenas um core). A chave N1 mal se pode falar, já que é o mesmo exemplo do artigo. Enquanto quebrava a 2 e a 3, eu ia codificando o euclides_ext.py.

Por mais simples que possa parecer, esses passos levaram quase a tarde toda da quinta-feira. Quando é 17:30h, tenho que sair. Tinha compromisso. Deixei 3 computadores processando N4, N5 e N7. Não deixei mais pois não imaginei que as últimas seriam tão difíceis.

Esperava voltar antes das 21h, mas, por problemas que fogem ao nosso alcance, só pude voltar 23h. Já estava quase perdendo as esperanças. Tinha certeza que, mesmo tendo saído com uma vantagem de 506 pra 126 pontos (cada item do desafio tinha pontos, sendo que os mais difíceis pontuavam mais), graças à codificação em python do euclides_estendido, que já tinha me permitido quebrar até D4, esperava que nesse período os outros competidores já teriam me superado.

Pensei então que, para vencê-los, teria que terminar o desafio o mais cedo possível. Deixei 3 computadores processando N6, N7 e N8 de forma direta (do começo para a raiz) durante a noite. Acordava a cada 2h pra ver se algum já tinha terminado. N6 terminou de processar por volta das 4h da manhã. N7 e N8 já estavam há quase 12h processando. De manhã, o prof. Elgio atualizou os dados. Eu estava em segundo!

Nessa hora, gelei. Aff, não posso nadar tanto pra morrer na praia. Por volta das 9h da manhã, N7 terminou de processar. Mas ainda faltava o mais difícil, o N8. Estava extremamente nervoso, pois a parte de processamento pesado já tinha terminado paro o primeiro colocado e para ele faltavam apenas as mensagens. Aprendi multi-threading com python em 15min para tentar agilizar o processo.

Com a dica do professor de fazer o processamento de traz para frente (publicada no fórum do desafio), cancelei tudo que estava fazendo, e coloquei dois computadores de 2 núcleos pra processarem tudo junto, cada núcleo com decrementos de 8.

O resultado saiu com cerca de 30min de processamento. Foi um alívio quando terminou. Calcular o D foi rápido, pois não exige esforço computacional algum, apenas o algoritmo certo, assim como decifrar as mensagens. Só não foi mais rápido do que enviar o e-mail para o professor Elgio. Essa foi muito apertada.

Este desafio foi muito proveitoso, divertido e instrutivo. Aprendi muito com as dificuldades reais e problemas que aparecem todo dia para resolvermos. Agradeço em especial a Deus, por ter me dado a oportunidade de participar de eventos tão legais e compartilhar esse momento com pessoas de tão alto nível quanto vocês.

Quero agradecer em especial ao professor Elgio pela iniciativa. Os artigos são ótimos, e esses desafios só fazem aguçar a curiosidade e interesse dos leitores pelo assunto. Quero parabenizar também os outros participantes, que, por todo esforço e dedicação, também merecem a honra.

Para finalizar, seguem os resultados finais.

Obrigado a todos, e até a próxima. E 86 105 118 97 32 79 32 76 105 110 117 120

1:
P1=17
Q1=23
N1=391
QQ1=352
E1=7
D1=151
MSG = Vol

2:
P2=859832243
Q2=1622547539
N2=1395118689832499977
QQ2=1395118687350120196
D2=203125295858749209
MSG = 88 107 122 78654 = Xkz 78654

3:
P3=2087378597
Q3=3371485619
N3=7037566921193896543
QQ3=7037566915735032328
D3=4775219542789892009
MSG = 75 87 44 3456799 = KW, 3456799

4:
P4=3391177067
Q4=6807380639
N4=23085033109316605813
QQ4=23085033099118048108
D4=22977598595017600961

5:
P5=15726738299
Q516057998197
N5=252539935250032846903
QQ5=252539935218248110408
D5=52687467144347565705

6:
P6=31683039737
Q6=34110753959
N6=1080732373142027068783
QQ6=1080732373076233275088
D6=743635295541033912753

7:
P7=104492788403
P7=129475931603
N7=13529301124273579600009
QQ7=13529301124039610880004
D7=9963504424228264636961

8:
P8=220346225717
Q8=238159273259
N8=52477496982124296201703
QQ8=52477496981665790702728
D8=12393711922764592649905

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Páginas do artigo
   1. Apresentação
   2. O RSA e o desafio proposto
   3. Quebrando o RSA
   4. A parte difícil
   5. Conclusão
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Comentários
[1] Comentário enviado por elgio em 25/08/2009 - 10:52h

O André está de parabéns. Não apenas venceu o desafio, como também topou um outro desafio, este sem ganhar nada, de escrever este artigo. Pretendo, em breve, atualizar o artigo sobre RSA contando o meu lado da estória e citando os outros participantes que se esforçaram muito também.

[2] Comentário enviado por mago_dos_chats em 25/08/2009 - 17:15h

Parabéns Andre, pelo primeiro lugar no desafio e pelo artigo, que ficou bem escrito, descrevendo seu esforço passo a passo pra resolver o problema.
Abraço

[3] Comentário enviado por cesperanc@ em 25/08/2009 - 20:21h

Parabéns André e obrigado por partilhares a tua experiência.

Um abraço

[4] Comentário enviado por clovesjr em 25/08/2009 - 22:06h

Quero deixar meus parabéns ao André por ter vencido o desafio de forma magistral...

Muito legal contar sua experiência porque como também participei, encontrei desafios semelhantes aos que você encontrou mas você conseguiu superá-los antes de todos os outros participantes.

Assim que conseguir, também vou escrever uma dica ou um artigo sobre esta experiência porque usei o C como linguagem e inicialmente esbarrei naquele problema do tamanho do número e pretendo mostrar como consegui superar este problema usando o próprio C (sem usar a dica do Prof. Elgio).

Parabéns novamente...

Abraços...

Cloves Jr

[5] Comentário enviado por thiagods.ti em 29/09/2009 - 14:03h

Cara, mandasse muito bem.

Só aconselho a quando escrever um programa utilizar variáveis mais legiveis.
E não apenas "d" "r" "c". Fica pior a leitura do código.


Abraços!

[6] Comentário enviado por andre.vmatos em 29/09/2009 - 15:02h

Olá, Thiago. Tem razão. Normalmente, preservo essas técnicas de boa programação nos programas que faço, entretanto, estes usavam realmente estes nomes para as variáveis. Por exemplo, no RSA, a mensagem criptografada é realmente chamada de "c", por isso usei letras como variáveis nos meus programas, também, as mesmas utilizadas pelo Prof. Elgio nos programas dele. Mas obrigado mesmo assim. Qualquer coisa, estamos ai pra tirar qqr dúvida. Abçss

[7] Comentário enviado por thiagods.ti em 29/09/2009 - 15:08h

Sim sim, eu li que os nomes eram esses mesmo, e como era um programa pequeno não tem muito problema. ;D




[8] Comentário enviado por elgio em 03/10/2009 - 12:28h

Oi Thiago.

Só para lhe dar uma resposta, escolher nomes de variáveis PEQUENOS, como i, j, k, vai de acordo com a sugestão "Coding Style" de K&R (capítulo 4, nomes de variáveis).

Ela é uma crítica a outros padrões e sugere que se coloque nomes curtos, preferencialmente UMA ÚNICA LETRA, para variáveis locais, que não devem ser muitas (se forem, então tu não dividiu corretamente teu código em funções).

Sugere que variáveis Globais (Argh) tenham sua primeira letra maiúscula e que estas sim tenham um nome que digam o que ela é. E sugere que constantes sejam todas maiúsculas.

Assim, neste formato de codificação, este seria um PÉSSIMO exemplo:

int f;

int soma (int variavelIntSoma1, int VariavelIntSoma2)
{
int resultadoSoma;
..
}

Mas esta seria ideal:

int Configuracao;
int soma (int x, int y)
{
int s;

...

Uma versão completa deste padrão pode ser encontrada em http://lxr.linux.no/#linux+v2.6.31/Documentation/CodingStyle

Ele é o padrão sugerido para programar em Linux (e, até onde sei, exigido para quem quiser contribuir com o kernel)

[]s

[9] Comentário enviado por andre.vmatos em 16/12/2009 - 19:45h

Se alguém se interessar em aprofundar-se um pouco mais na teoria dos números na qual me baseei pra gerar o algorítimo de divisão de números grandes (congruência), pode estar dando uma lida nesse material:
http://www.rumoaoita.com/site/index.php?option=com_content&view=article&id=65:apostila-de-congruenci...
É bastante teórico, mas pra quem gosta, pode ser interessante. Na época do desafio, não usei esse material, pq não o conhecia ainda, então, usei explicações bem mais simples, mas que foram suficientes. Então, essa semana, estudando pro vestibular do ITA, que está ocorrendo agora, entre os dais 15 e 18 de dezembro, do qual estou participando, encontrei essa apostila, no site Rumo ao ITA. Pode ser útil a alguém. T+

[10] Comentário enviado por s0l1d_k3rn3l em 08/01/2010 - 04:49h

aew

muito bom artigo...

flw

[11] Comentário enviado por maurisilvestre em 28/05/2010 - 10:45h

Ótimo artigo André, parabéns em dobro, primeiro por vencer o desafio e segundo por compartilhar conosco, assim todos podem ter um material de apoio para aprendizado.
t+ Fica com Deus e boa sorte nos próximos desafios =)

[12] Comentário enviado por andre.vmatos em 28/05/2010 - 11:55h

Olá, maurisilvestre. Obrigado pelas congratulações. Espero mesmo ter sido útil. T+

[13] Comentário enviado por removido em 26/09/2011 - 11:36h

Olá. (celestina23love@yahoo.com)
Fiquei muito impressionado ao seu perfil em (vivaolinux.com.br) e eu sinto como ter uma boa amizade com você, meu nome é Celestina, eu gosto de você para me escrever de volta com o meu e-mail(celestina23love@yahoo.com) para que eu possa enviar-lhe uma foto e dizer mais sobre mim, obrigado por acolher o meu pedido de amizade, eu estarei esperando por sua resposta ao meu endereço de email.
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Celestina .

[14] Comentário enviado por Zaraki em 11/11/2011 - 19:12h

muito bom o artigo, vou testar agora e compartilhar com meus colegas de faculdade!
Obrigado e PArabéns!

[15] Comentário enviado por andre.vmatos em 12/11/2011 - 00:32h

Obrigado, Kyouraku.
Qualquer coisa, estamos ai pra tirar qualquer dúvida.
Abçs

[16] Comentário enviado por nandobravo06 em 19/11/2011 - 01:11h

Um meio interessante de conseguir um desempenho extra no algoritmo de força bruta, é ao invés de tentar todos os ímpares (3, 5, 7, 9, 11, 13...), é só observar que tirando o 2 e o 3, todos os demais números primos é fruto da multiplicação de (x por 6) + ou - 1...

x=1:
5 = (1 * 6) - 1
7 = (1 * 6) + 1

x=2:
11 = (2 * 6) - 1
13 = (2 * 6) + 1

Isso não significa que x * 6 + ou - 1 sempre vá gerar números primos, mas significa uma redução de UM TERÇO do processamento em relação ao algoritmo que testa todos os ímpares.

Uma outra observação é que, sendo N um número gigante, se ((N+1)%6 !=0)&&((N-1)%6 !=0), Se essa condição for verdadeira, SEGURAMENTE O NÚMERO É COMPOSTO!

[17] Comentário enviado por elgio em 19/11/2011 - 13:55h

Que dica maravilhosa Fernando.

Se tiver mais dicas sobre números primos, manda.

Eu, particularmente, levei um pau no passado para descobrir e implementar o euclides extendido para calcular o D do RSA. Não é algo que se encontra de forma clara por ai.

[]'s

[18] Comentário enviado por danilosampaio em 20/04/2012 - 12:40h

Excelente artigo! Parabéns!

[19] Comentário enviado por joaocpimenta em 04/12/2012 - 20:13h

Cara, muito massa mesmo! Parabéns por todo o raciocínio e pelo post!


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