Criptografia assimétrica com o RSA

Devido a dificuldade de troca de chaves, os algoritmos assimétricos são o principal motor de comunicações cifradas sobre SSL, como o HTTPS. De fácil compreensão, o RSA é um interessante método matemático que permite a cifra assimétrica baseado em números primos. E você pode brincar de RSA com a sua calculadora bc de linha de comando.

[ Hits: 179.423 ]

Por: Elgio Schlemer em 05/08/2009 | Blog: http://gravatai.ulbra.tche.br/~elgio


Conclusão



Toda a segurança do RSA está focada em um problema matemático ainda sem solução, que é o cálculo de divisores de um número. Ainda hoje a única forma conhecida para se calcular quais números dividem exatamente, sem resto, um outro número é através da tentativa e erro, ou seja, a força bruta. Muitos avanços se tem feito e muitas técnicas usadas para acelerar em muito esta tarefa, mas ela ainda é um problema que demanda muito tempo.

Contudo, basta que algum matemático descubra como calcular os divisores de um número de forma eficiente e pronto, fim do RSA. Se é que algum pesquisador secreto já não o tenha descoberto.

Faz alguns anos o RSA foi posto em cheque devido a uma descoberta envolvendo números primos. O desafio de determinar se um número é ou não primo também demanda tempo. Como tu poderias dizer que o número 65537 é ou não primo? A princípio tentando dividir ele por todos os números primos anteriores a ele. Tenta-se dividir por 2, por 3, por 5 (não teria sentido tentar por 4, pois se fosse divisível por 4, já o teria sido por 2), por 7, 11, 13... Se não se encontrar um divisor até o valor da raiz quadrada de 65537, pode-se com segurança eleger este número como sendo primo.

Esta parte foi um desafio para o RSA. Como o algoritmo, que precisa escolher P e Q primos, pode ter certeza de que são primos? O número P=339837669899793087932310819184919452667 gerado pela biblioteca openssl é primo? Como o RSA tem certeza? O fato é que não tem! Quando da escolha de P e Q não se tem certeza de que eles realmente são primos. O impacto caso não sejam é que o algoritmo ficará mais fraco, mas funcionará tranquilamente.

Chegar a conclusão de que P é realmente primo demandaria o mesmo esforço que um atacante teria para quebrar o N. Por isto o RSA limita-se a aplicar os 3 testes da primaridade. Se ele reprovar em um dos testes, não é primo e será descartado. Se passar em todos os testes, tem uma chance de X% de ser primo. Ao executar os testes várias vezes refina-se a precisão tendo-se, hoje, quase certeza de que são primos.

Pois bem, a descoberta recente (e nem tão recente assim) foi de um algoritmo que dá 100% de certeza de que um número é primo. Isto, por si só, não compromete o RSA pois o que se precisa é de um algoritmo que descubra o P e o Q a partir do N. Contudo aquela "luzinha vermelha" acabou se acendendo e uma névoa de suspeita paira sobre o RSA.

Pretendia tornar este artigo ainda mais extenso, com muitos anexos descrevendo o teorema de Euclides e os atalhos matemáticos para cálculo de módulo. Porém, estes conceitos são necessários para alunos meus resolverem alguns desafios e não pretendo publicar algo que lhes tire o prazer da descoberta!

Página anterior    

Páginas do artigo
   1. Introdução
   2. A teoria dos algoritmos assimétricos
   4. RSA passo a passo
   5. Não frite seu processador
   6. Quebrando o RSA: um desafio para você valendo um livro
   7. Conclusão
Outros artigos deste autor

Túneis cifrados com SSH

Cuidado com números em Ponto Flutuante

Iptables protege contra SYN FLOOD?

Introdução a criptografia

A mágica do dc

Leitura recomendada

Pen-Test com ênfase em WLAN

Nmap do início ao fim (parte 1)

Esteganografia utilizando steghide

Entrevista com um hacker, via Internet

Integridade dos arquivos do sistema

  
Comentários
[1] Comentário enviado por cesar em 05/08/2009 - 14:34h

Nota 10!

parabéns elgio!

[]'s

[2] Comentário enviado por elgio em 05/08/2009 - 14:53h


VALENDO!

Valores de N publicados!
http://www.vivaolinux.com.br/topico/Seguranca-Da-Informacao/Desafio-1-RSA

[3] Comentário enviado por cesar em 05/08/2009 - 15:17h

@elgio

Fiquei interessado neste "teorema de Euclides e atalhos matemáticos para cálculo de módulo" tem como você me enviar este material por e-mail? não sei se pode mandar por causa do desafio, mas quando concluir o desafio tú me manda?
meu e-mail é [email protected]

[]'s

[4] Comentário enviado por elgio em 05/08/2009 - 15:33h

O teorema de euclides é uma pequena variação da fórmula para cálculo do máximo divisor comum. Está publicado no meu site e o link é fornecido no artigo.

Quanto ao atalho matemático, claro. Mas depois. com o tempo. Também teria as explicações dos 3 testes de primaridade. não sou matemático, mas sou curioso. Corri muito atras de alguns conceitos para poder entender e até mesmo ACREDITAR no RSA :-D

Estou escrevendo um NOVO artigo sobre linguagens que irá ajudar MUITO a quebrar o N. Mas este eu vou segurar para publicar depois.

[5] Comentário enviado por fernandoborges em 06/08/2009 - 13:13h

Prof. Elgio, parabéns pelo rigor com que tratou o assunto. Mesmo sendo formado em Matemática, ainda me faltavam alguns conceitos que relacionassem Teoria dos Numeros e Criptografia Assimétrica. Comecei uma Pós nesse ramo em 2007, mas infelizmente tive que trancar. Seu artigo me remeteu ao OpenVPN, que aliás, é uma das minha ferramentas em meu trabalho atual. O Sr poderia fazer uma análise da segurança implementada no OpenVPN com certificados X509 à luz de seu conhecimento sobre criptografia?

[6] Comentário enviado por elgio em 06/08/2009 - 13:57h

Fernando:

Não importa qual programa, nenhum deles usa algoritmos Assimétricos para cifrar!

Os assimétricos, como o RSA ou o DSA são computacionalmente inviáveis, devido ao esforço matemático exigido. Um processador não daria conta de cifrar um download de um CD Iso, por exemplo.

TODOS ELES usam algoritmos SIMÉTRICOS, por serem bons e rápidos.

Olhando o man do openvpn vi que ele prefere usar o algoritmo simétrico blowfish em modo CBC (Cipher-Block Chaining, ou seja, como um algoritmo de bloco encadeando-os para evitar repetição).

Mas como toda boa ferramenta profissional, o OpenVPN suporta diversos algoritmos (execute openvpn --show-ciphers para ter uma listagem do seu).

Assim, a segurança dos dados em tráfego dependem do algoritmo e do tamanho da chave. O menor deles, ma minha versão de openvpn, é o DES com 64 bits que já está fraquinho. Usar ele pode significar estar fragilizado.

O Blowfish padrão usa 128 bits que está MUITO, mas MUITO BOM (o pessoal acha que é pouco já que o RSA deve ser de, pelo menos, 1024. Mas são princípios matemáticos distintos: http://www.vivaolinux.com.br/artigo/Introducao-a-criptografia cap 6)

Bom, mas onde entra o certificado e a criptografia assimétrica?

Quando cliente e servidor negociam, há uma troca de certificados. Um certificado tem muitas informações, incluindo a chave pública, podento estar assinado por uma certificadora.

Um certificado usa diversos algoritmos:
- RSA ou algum outro assimétrico: esta chave deve ser de pelo menos 1024 bits. Menos que isto é perigoso

- HASH: Pra as assinaturas digitais. Não convém mais usar o MD5 por conta das colisões descobertas. O bam bam bam de agora é o SHA1

Ocorre que no início cliente e servidor CRIAM uma chave de sessão de 128 bits para ser usado pelo simétrico (no caso o blowfish). Podem fazer isto usando o protocolo Diffie-Hellman. Esta negociação irá precisar de algumas mensagens, TODAS CIFRADAS PELO RSA (e gastando CPU!).

Mas são só estas poucas, pois assim que uma chave de sessão é trocada, abandonam o lentérrimo RSA e usam o "rapidésimo" simétrico (blowfish no exemplo).

Então, caro amigo, o openssl é sim EXTREMAMENTE SEGURO se observadas algumas coisas:

a) que se use algoritmos bons. O padrão que vem nele está "da hora"
b) que se usem certificados bons, sem MD5 de preferência
c) que se use uma chave forte RSA, se for o caso, de, pelo menos, 1024 bits


[7] Comentário enviado por elgio em 07/08/2009 - 10:01h

VALENDO!

Valores de N publicados!
http://www.vivaolinux.com.br/topico/Seguranca-Da-Informacao/Desafio-1-RSA

[8] Comentário enviado por fernandoborges em 08/08/2009 - 16:34h

Prof. Elgio,
Quero agradecê-lo pela rápida abordagem sobre o OpenVPN. Muito esclarecedor pra mim. Será de grande valia para que eu possa avaliar melhor a segurança dos dados que trafegam na minha VPN.
Cordiais saudações,
Fernando.

[9] Comentário enviado por marcelogpl em 09/08/2009 - 01:32h

Parabéns Professor!

Realmente um artigo muito interessante e claro nos conceitos utilizados, vai ajudar muito em projetos onde um dos focos é a segurança.

Obrigado

[10] Comentário enviado por elgio em 12/08/2009 - 16:52h

Novo desafio postado.

ESTE VALE UM LIVRO!
http://www.vivaolinux.com.br/topico/Seguranca-Da-Informacao/Desafio-2-RSA

[11] Comentário enviado por elgio em 13/08/2009 - 10:08h

Ontem pela manhã removi o link do artigo que remetia para o cálculo do D em C. Ele não funcionava para todos os casos. Agora eu REFIZ o código e voltei a citar o código em C no artigo. Esta versão, em C, FUNCIONA e corretamente calcula qualquer valor de D, mas só se ele estiver dentro da capacidade da ULA. Necessário para GANHAR O LIVRO do desafio.

Ah, mas com este código não dá para quebrar todos os D?

Ora, modifique ele: http://www.vivaolinux.com.br/artigo/Programacao-com-numeros-inteiros-gigantes/

[12] Comentário enviado por Lisandro em 10/06/2010 - 07:04h

Ótimo Artigo. Parabéns!

[13] Comentário enviado por rafatmb em 23/11/2010 - 17:23h

Excelente documentação sobre o assunto. Informações fundamentais para todos os administradores de rede linux.

um bom material de apoio em: http://cseweb.ucsd.edu/~mihir/papers/oae.pdf

Acho importante sabermos a história das coisas, e de onde vieram as soluções que hoje fazem parte do dia a dia. Muitas vezes, usamos tanto, que nem atribuimos a devida importante para as ferramentas, e deixamos também de reconhecer aqueles que passaram tanto tempo estudando e desenvolvendo a tecnologia.

Abraço a todos!

Rafael Marangoni
LPIC/1/2/3 - Expertise em Servidor Linux
http://www.brlink.com.br



[14] Comentário enviado por uberalles em 01/12/2010 - 01:28h

Grande e excelentíssimo Professor. Que pena que só encontrei este artigo agora.. há dois meses atrás, por volta de outubro, tive que fazer um programa em C, com API MySQL para tratar senhas e tals e acabei usando a função ENCODE() e DECODE() do próprio MySQL, sendo que queria ter feito em C. talvez eu reveja e refaça uma nova versão, mas a que tenho hoje está muito boa.

Um abraço e muito obrigado.
.

[15] Comentário enviado por DavidsonDFGL em 26/07/2012 - 22:13h

Poxa, de longe o melhor artigo de RSA que já li na internet, tanto que até tive vontade de implementar algo simples em C, mas me veio uns problemas:

o programa gerou aleatoriamente
p = 5
q = 11
e = 7
o n 55
o qq 40
e o d deu 23
acontece que quando cifro o número 10 por ex, o resultado é 10 também, e decifrado vira 18.
Isso seria uma infeliz coincidência, ou tem algo de muito errado com estes valores? confesso que já vi e revi estes valores e aparentemente estão certos, :(

[16] Comentário enviado por sk4d1nh4 em 26/11/2012 - 17:02h


[17] Comentário enviado por DavidsonDFGL em 26/07/2012 - 22:13h:

Poxa, de longe o melhor artigo de RSA que já li na internet, tanto que até tive vontade de implementar algo simples em C, mas me veio uns problemas:

o programa gerou aleatoriamente
p = 5
q = 11
e = 7
o n 55
o qq 40
e o d deu 23
acontece que quando cifro o número 10 por ex, o resultado é 10 também, e decifrado vira 18.
Isso seria uma infeliz coincidência, ou tem algo de muito errado com estes valores? confesso que já vi e revi estes valores e aparentemente estão certos, :(


Caro DavidsonDFGL,

acredito que tenha alguma coisa errada no seu "C". Decifrando o 10 com esses números da 10 mesmo. Faça o teste. echo (10^23)%55 | bc

[17] Comentário enviado por fabinhotfj em 21/02/2013 - 20:55h

Parabéns pelo seu artigo


[18] Comentário enviado por dougaslinux em 01/10/2013 - 00:19h

Olá, Ótimo poste!

Se alguem poder me confimar alguns sistemas que utilizam a criptografia RSA , ficarei muito grato!

[19] Comentário enviado por reinaldobatista em 15/07/2014 - 13:16h

Excelente! Parabéns! Bravo!


Contribuir com comentário